$|A x|^2=\sum_{i=1}^k\left(\sum_{j=1}^n a_{i j} x_j\right)^2 \leqslant \sum_{i=1}^k\left(\left(\sum_{j=1}^n a_{i j}^2\right)\left(\sum_{j=1}^n x_j^2\right)\right)=\left(\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^n a_{i j}^2\right)|x|^2=\left\|\left(a_{i j}\right)\right\|_F^2\|x\|^2$.